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ADDENDUM 01.
ARITHMETIC. PHILOSOPHY ON NEGATIVE QUANTITIES.

ANEXO 01.
ARITMÉTICA. FILOSOFIA SOBRE QUANTIDADES NEGATIVAS.

ENGLISH

PORTUGUÊS

01 - This addendum attempts to answer the following questions:

01 - Este anexo procura responder as seguites questões:

Do negative quantities exist in our physical world?
How should I visualize a negative quantity?

Quantidades negativas existem no mundo real?
Como podemos visualizar uma quantidade negativa?

02 - This addendum tries to answer these questions by means of an exemple which begins without any abstraction.

02 - Este anexo procura responder estas questões através de um exemplo que se inicia sem nenhum tipo de abstração.

Imagine we have 2 paint buckets. One of them contains 1 liter of black paint. The other one contains 1 liter of white paint.

Imagine que se tenha 2 baldes de tinta. Um deles contém 1 litro de tinta preta. O outro contém 1 litro de tinta branca.

1 liter of black paint

1 litro de tinta preta

1 liter of white paint

1 litro de tinta branca

03 - Still inside phisical reality and mantaining focus on the specific variable colour.

03 - Ainda totalmente dentro do mundo físico real e mantendo o foco sobre a variável cor.

If we mix 1 liter of black paint together with 1 liter of white paint emerges the average among the two colours - The grey. The quantity 2 liters is not important here. We may assume that the grey colour achieved is a central point, in other words, a point of balance or simetry of the colour variable.

Se misturarmos 1 litro de tinta preta com 1 litro de tinta branca surge a média entre as duas cores - o cinza. A quantidade de 2 litros não é importante aqui. Vamos assumir que a cor cinza resultante seja um ponto central, em outras palavras, um ponto de equilíbrio ou simetria da variável cor.

1 liter of black paint

1 litro de tinta preta

2 liters of gray paint

2 litros de tinta cinza

1 liter of white paint

1 litro de tinta branca

04 - Still inside phisical reality let us assimilate the concept of opponent.

04 - Ainda dentro da realidade física assimilemos o conceito de opositor.

Let us consider that in terms of colour:

(1 liter of white paint) is the opponent of (1 liter of black paint), or
(1 liter of black paint) is the opponent of (1 liter of white paint).

Vamos considerar que em termos de cor:

(1 litro de tinta branca) é o opositor de (1 litro de tinta preta), ou
(1 litro de tinta preta) é o opositor de (1 litro de tinta branca).

05 - Here we introduce the first abstraction: Let us use mathematical simbology (+ and -) to represent the concept of opponent.

05 - Neste ponto introduzimos a primeira abstração: Vamos usar sinais matemáticos (+ e -) para representar o conceito de opositor.

(-1 liter of black paint) is the opponent of (+1 liter of black paint) and is represented visually by:

(-1 litro de tinta preta) é o opositor de (+1 litro de tinta preta) e é representado graficamente por:

Black colour variable axis

Eixo da variável cor preta

-1 liter of black paint

-1 litro de tinta preta

0

0

+1 liter of black paint

+1 litro de tinta preta

(-1 liter of white paint) is the opponent of (+1 liter of white paint) and is represented visually by:

(-1 litro de tinta branca) é o opositor de (+1 litro de tinta branca) e é representado graficamente por:

White colour variable axis

Eixo da variável cor branca

-1 liter of white paint

-1 litro de tinta branca

0

0

+1 liter of white paint

+1 litro de tinta branca

Note that for the first time in this analisys negative quantities appear. They are result of our first abstraction: when we introduced simbols to represent the concept of opponent.

Note que pela primeira vez nesta análise surgiram quantidades negativas. Elas são resultado da nossa primeira abstração: quando introduzimos símbolos matemáticos para representar o conceito de opositor.

06 - Within the field of abstraction, let us do arithmetic on black colour.

06 - Dentro do campo da abstração, façamos aritmética com a cor preta.

It is possible to do arithmetic with the black colour. Here we use the black colour and its opponent.

É possível fazer aritmética com a cor preta. Usamos a cor preta e seu opositor.

( + 1 liter of black paint) + ( - 1 liter of black paint) = 0

( + 1 litro de tinta preta) + ( - 1 litro de tinta preta) = 0

07 - Within the field of abstraction, let us do arithmetic on white colour.

07 - Dentro do campo da abstração, façamos aritmética com a cor branca.

It is possible to do arithmetic with the white colour. Here we use the white colour and its opponent.

É possível fazer aritmética com a cor branca. Usamos a cor branca e seu opositor.

( + 1 liter of white paint) + ( - 1 liter of white paint) = 0

( + 1 litro de tinta branca) + ( - 1 litro de tinta branca) = 0

08 - Testing the coherence of our abstraction.

08 - Teste da coerência da nossa abstração.

In sections 06 and 07 we see that arithmetic operations perform a reasonable representation of phisical reality:

Nas seções 06 e 07 tivemos operações aritméticas que representaram a realidade física razoavelmente bem:

( + 1 liter of black paint) + ( - 1 liter of black paint) = 0 meaning that
(1 liter of black paint) + (1 liter of white paint) = (2 liter of gray paint) and

( + 1 liter of white paint) + ( - 1 liter of white paint) = 0 meaning that
(1 liter of white paint) + (1 liter of black paint) = (2 liter of gray paint)

( + 1 litro de tinta preta) + ( - 1 litro de tinta preta) = 0 significando que
(1 litro de tinta preta) + (1 litro de tinta branca) = (2 litros de tinta cinza) e

( + 1 litro de tinta branca) + ( - 1 litro de tinta branca) = 0 significando que
(1 litro de tinta branca) + (1 litro de tinta preta) = (2 litros de tinta cinza)

Here we have one proof that the manipulation of our mathematical model brings back that phisical reality we had on section 03. In other words, we can return from abstraction to reality without any loss in terms of coherence.

Aqui temos uma prova de que a manipulação do nosso modelo matemático trás de volta a realidade física que tinhamos na seção 03. Em outras palavras podemos retornar da abstração para a realidade sem perda de coerência.

09 - Reminder.

09 - Lembrete.

Note that there are many ways one can express the same quantity in this analisys. Some of them are nevertheless more convenient than others.

Veja que existem muitas maneiras de se expressar a mesma quantidade nesta análise. Algumas são entretanto mais convenientes do que outras.

For exemple: nothing should prevent us to refer the following quantity: (-1 liter of black paint).
However if we use (1 liter of black paint opponent) we achieve the same meaning with the advantage of using a way which has greater conformity with phisical reality.

We can also refer to (1 liter of black paint opponent) by (1 liter of white paint).
And this is undeniably the way most close to reality of things and it does not involve any form of abstraction.

Por exemplo: Nada nos impede de nos referirmos a seguinte quantidade: (-1 litro de tinta preta).
Entretanto se usarmos (1 litro de opositor de tinta preta) teremos o mesmo significado com a vantagem de usar uma maneira que apresenta maior conformidade com a realidade física.

Também podemos nos referir a (1 litro de opositor de tinta preta) por (1 litro de tinta branca).
E esta é sem dúvida a forma mais próxima a realidade física e não envolve nenhum tipo de abstração.

10 - After all, a negative quantity does exist or not?

10 - Afinal de contas, uma quantidade negativa existe ou não?

In this analisys (-1 liter of black paint) does not exist in phisical world unless a mental abstraction is made. However it serves as a mathematical artifice to represent an opponent to (+1 liter of black paint). In other words, (-1 liter of black paint) is something that weakens the (+1 liter of black paint) in therms of colour.
At the same time, (-1 liter of black paint) is a way to represent (+1 liter of white paint) which is something real, existent. In this sense we can say that (-1 liter of black paint) does exist. However it was necessary to come out of our abstraction here.

Nesta análise (-1 litro de tinta preta) não existe no mundo físico sem que uma abstração mental seja feita. Entretanto serve como artifício matemático para representar o opositor a (+1 litro de tinta preta). Em outras palavras, (-1 litro de tinta preta) é algo que enfraqueçe (+ 1 litro de tinta preta) em termos de cor.
Ao mesmo tempo, (-1 litro de tinta preta) é uma forma de se representar (+1 litro de tinta branca) que é algo real, existente. Neste sentido podemos dizer que (-1 litro de tinta preta) existe. Entretanto foi necessário retornar da abstração aqui.

Whence we conclude that

Disso concluímos que

"There is no negative quantity in our phisical world unless at least one mental abstraction is made."

"Não existe quantidade negativa em nosso mundo físico a menos que pelo menos uma abstração mental seja feita."

In any case, it is still necessary to know how to manipulate negative quantities algebrically. Note that even in this analisys we manipulated negative quantities algebrically.

De qualquer maneira é necessário saber manipular quantidades negativas algebricamente. Veja que mesmo nesta análise manipulamos quantidades negativas algebricamente.

11 - Aplicability of the fundamental concept herein contained in other variables commonly used.

11 - Aplicabilidade do conceito fundamental contido nesta análise em outras variáveis comumente encontradas.

In the field of phisics, geometry and engineering we comonly use variables such as forces, distances, areas and volumes. A negative force can, in an equation, represent an opponent force, which weakens a positive force. A negative distance can, in an equation, represent an opponent distance, which weakens a positive distance. A negative area can, in an equation, represent an opponent area, which weakens a positive area. A negative volume can, in an equation, represent an opponent volume, which weakens a positive volume.

No campo da física, geometria e engenharia comumente usamos variáveis como forças, distâncias, áreas e volumes. Uma força negativa pode, numa equação, representar uma força opositora, que enfraqueçe uma força positiva. Uma distância negativa pode, num equacionamento, representar uma distância opositora, que enfraqueçe uma distância positiva. Uma área negativa pode, num equacionamento, representar uma área opositora, que enfraqueçe uma área positiva. Um volume negativo pode, numa equação, representar um volume opositor, que enfraqueçe um volume positivo.

In the field of accountancy and finances we commonly use financial balances. A debit can, in an equation, represent an opponent to a credit, which weakens the balance. Remember that finances and accountancy are only a useful type of mental abstraction in itself.

No campo da contabilidade e das finanças fazemos balanços finançeiros. Um débito pode, numa equação, representar um opositor ao crédito, que enfraqueçe o balanço. Lembre-se que finanças e contabilidade são em si apenas uma útil abstração mental.

The result of my equation can return a negative quantity?

O resultado da minha equação pode retornar uma quantidade negativa?

Yes. And this means that the opponent quantity is greater than the positive quantity. Remember that an equation is an abstraction itself.

Sim. E isto significa que a quantidade opositora supera a quantidade positiva. Lembre-se que uma equação é uma abstração mental.

Remember that there are scalar and vetorial magnitudes. Vectors are itself already a type of mental abstraction. They do not exist in phisical world.

Lembre-se que existem grandezas escalares e vetoriais. Vetores já são em si uma abstração mental. Eles não existem no mundo físico.

Colour is an exemple of scalar magnitude, which is not associated to any geometric concept such as a vector. Force is an exemple of vetorial magnitude, which is assotiated to a vector which has a direction. Scalar or vetorial magnitudes can benefit from the assotiation of the concept contained herein.

Cor é um exemplo de magnitude escalar, ou seja, não está associado a nenhum conceito geométrico como um vetor. Força é um exemplo de magnitude vetorial a qual está associada a um vetor o qual tem uma direção. Magnitudes escalares ou vetoriais podem se beneficiar da associação do conceito contido nesta análise.